1999年9月21日

The Economic Theory of WTP and WTA

W. Michael Hanemann

報告者：栗山　浩一（早稲田大学）

本章の内容

　　　WTPとWTAを経済理論を用いて分析し、WTP/WTAをめぐるこれまでの批判を検証

・効用モデルによるWTPとWTAの定義

・仮想価格を用いた分析

・所得弾力性

・WTP/WTAの差異

・獲得/損失の差異

・損失回避などその他の原因

・不確実性

・代替効果

3.2　効用モデル

効用関数　u(x,q)　

xは私的財ベクトル、qは非市場財の環境アメニティ（スカラーまたはベクトル）

uはxとqに関して非減少関数、xに関して準凹(quasi-concave)関数

消費者の効用最大化問題

subject to (3.1)

この解として通常の需要関数と間接効用関数が得られる。Envelope theoremより、間接効用関数はpとyに関して非減少関数である。

　一方の支出最小化問題は

subject to (3.2)

この解として補償需要関数と支出関数が得られる。ここでおよびが成立する。これより

(3.3a)

(3.3b)

したがって (3.3c)

(3.3a)より支出関数はqについて非減少関数（）。

　　LEMMA 3.1

u(x,q)が(x,q)に関して準凹であれば、m(p,q,u)はqに関して凸、v(p,q,y)は(q,y)に関して準凹

envelope theoremより、また、したがってvは(q,y)に関して準凹。準凹関数の無差別曲線は凸関数となるが、m(p,q,u)はv(p,q,y)=uをyについて解いたものなので、qに関して凸となる。

MalerはHicks測度との類推からq⁰からq¹への変化に対する補償変分(C)と等価変分(E)を以下のように定義した。

(3.4a)

(3.4b)

ここで、より、

もしならば、この変化は改善でありCはこの変化を実現するためのWTP、Eはこの変化を中止することに対するWTAとなる。逆の場合は、この変化は改悪であり、-Eはこの変化を阻止するためのWTP、-Cはこの変化を受け入れるためのWTAとなる。どちらの場合もWTA-WTP=E-Cが成立する。支出関数を用いて定義すると

(3.5a)

(3.5b)

Hurwicz and Wzawaの所得補償関数を用いれば、

(3.6a)

を用いるとCとEは以下のように表現できる

y

(3.4a)

y"

(3.4b’)

同様にを用いると

(3.4a’)

q1

q0

(3.4b)

したがって、

(3.7b)

さらにCとEには次の関係が成立する

(3.8b)

CとEの関係を用いれば、WTPのみたずねるだけでWTAを間接的に推定することが可能となる。たとえば、

(3.9)

ただし、αはqに関する増加関数であるとする。このとき

(3.9a)

(3.9b)

Loomis et al. (1990)はこの方法で間接的にWTAを推定したところ、WTAはWTPより15-20％大きいという結果が得られた。

3.3 qに関する弾力性

とすると以下の命題が成立する。

Proposition 3.1

u(x,q)が(x,q)に関して準凹のとき、

(1) Cはq¹と△に関して凹

(2) Cはq⁰に関して準凸

(3) Eはq¹と△に関して準凹

(4) Eはq⁰に関して凸

(1)の証明　u(x,q)が(x,q)に関して準凹であればLemma3.1よりm(p,q,u)はqに関して凸。このときであるからCはq¹に関して凹。また、であるから、△に関しても凹。

(2)の証明　より、したがってq⁰に関して準凸。

凹性はqに関するWTPやWTAの弾力性と関係するが、準凹性は関係しないので、この違いは重要。

Star-shapedと弾力性

λx

x

連続かつ非負の関数f(x)はがのλに関して増加、かつf(0)=0のとき、star-shapedと呼ばれる。このとき、f(x)のxに関する弾力性は1より大きい。f(x)が凸、非負、f(0)=0のときf(x)はstar-shapedである。同様に、f(x)が凹、非負、f(0)=0のときf(x)はlower star-shapedと呼ばれ、がのλに関して減少し、f(x)のxに関する弾力性は1より小さい。

f(x)がstar-shapedのとき、、したがってfのxに関する弾力性は1より大きい。また、とすると、fが凸関数の場合、が成立し、またであるからとなりはλに関して増加。

　　Proposition 3.2

u(x,q)が(x,q)に関して準凹のとき、Cの△に関する弾力性は1より小さい。

証明　C(0)=0、C(△)は凹で非負であるから、はlower star-shapedであり、弾力性は1より小さい。■

CとEがq¹やq⁰とは独立でq¹-q⁰に依存するケース

(3.10)

(3.10a)

(3.10b)

したがってq¹-q⁰に依存

一般化

V(x,z)、xはスカラー、zはスカラーまたはベクトル、Vはxに関して増加。x=M(u,z)はu=V(x,z)の逆関数。

　　LEMMA3.2

M(u,z)がzに関して凸（凹）⇔V(x,z)が(x,z)に関して準凸（準凹）

　証明はLEMMA3.1と同じ

xをzに対するニュメレールとする。x固定でzはz⁰→z¹に変化。

、ただし (3.11a)

、ただし (3.11b)

このとき。C^z>0ならばこの変化は改善であり、C^zは変化を実現するためのWTP、E^zは変化の中止に対するWTA。C^z<0ならばこの変化は改悪であり、-E^zは変化を阻止するためのWTP、-C^zは変化を受け入れるためのWTA。どちらの場合も、E^z-C^z=WTA-WTP

PROPOSITION 3.3

(1) V(x,z)が(x,z)に関して準凹のとき、C^zはz¹に関して凹、z⁰に関して準凸、E^zはz¹に関して準凹、z⁰に関して凸。V(x,z)がzの増加関数のとき、C^zは△=z¹-z⁰に関して凹、C^zの△に対する弾力性は1より小さい。V(x,z)がzの減少関数のとき、E^zは△=z¹-z⁰に関して凸、E^zの△に対する弾力性は1より大きい。

(2) V(x,z)が(x,z)に関して準凸のとき、C^zはz¹に関して凸、z⁰に関して準凹、E^zはz¹に関して準凸、z⁰に関して凹。V(x,z)がzの増加関数のとき、C^zは△=z¹-z⁰に関して凸、C^zの△に対する弾力性は1より大きい。V(x,z)がzの減少関数のとき、E^zは△=z¹-z⁰に関して凹、E^zの△に対する弾力性は1より小さい。

Vを効用関数と見なせばCzとEzは補償余剰および等価余剰となる。Vを間接効用関数と見なせば、補償変分と等価変分となる。V(p,y)として価格変化と見なせば、通常の価格変化に対する補償変分・等価変分となる。

3.4 厚生測度の別の定式化

qの仮想価格をπとし、qの水準を自由に選択できると想定する。このとき効用最大化問題は

subject to (13.3a)

この解は通常の需要関数、。uが(x,q)に関して準凹ならばは通常の需要関数と同じ特性を持つ。間接効用関数は。支出最小化問題は

subject to (3.13b)

この解は補償需要関数、。支出関数は

間接効用関数には以下の関係がある

(3.14a)

(3.14b)

同様に支出関数の関係は以下のとおり

(3.14c)

(3.14d)

qの補償需要関数の逆関数→逆補償需要関数

qの非補償需要関数の逆関数→逆非補償需要関数

両者には以下の関係がある。

(3.15a)

(3.15b)

シェパードのレンマより、したがって(3.14c)を微分すると

(3.16)

つまり仮想価格はMWTP / MWTAとみることができる。

のときに上級財、のときに下級財と呼ぶ。(3.15a)と(3.16)から

ここでv_y>0であるから

これより、qが上級財となるのはまたはのときのみで、下級財となるのはまたはのときのみ。(3.16)と(3.5a)(3.5b)から

(3.17a)

(3.17b)

3.5. WTPとWTAの所得弾力性

(3.17a)を微分すると

(3.18a)

ここでとすると、

(3.18b)

m_qu=0のとき、C_y=E_y=0。このためには、以下が成立しなければならない。

(3.19a)

(3.19b)

(3.19c)

(1) Cの所得弾力性

(2) qの需要関数の所得弾力性

(3) qの需要価格の所得弾力性（Randall & Stollの所得の価格柔軟性）

(3)はEとCの誤差の上限を示すために使われる。

、ただしである。したがって、WTP/WTAの差を調べるには、(3)の大きさを調べることが重要。

　これまでのCV研究では(1)-(3)が混同されることがあった。McFadden & LeonardはlnWTPをlnyに回帰した値(1)が1未満であり、環境保護が上級財であることに反するとしてCVを批判。この批判が成立するためには、が必要。

PROPOSITION 3.4

以下はすべて等しい。間接効用関数が(3.19b)

効用関数が(3.19b)のとき(3.19c)より(1)=0、より(3)=0、より(2)=0。

■

しかし、が0以外の場合は、一般にやと異なる。これらの弾力性の関係はかなり複雑である。

(3.17a)より。

Mean Value Theoremより

、

となるが存在する。

q¹

q⁰

q

π(q)

同様に

、

となるが存在する。このとき

(3.20)

ただし、はで評価したもので、。m_uq<0のとき、①は1より小さい。u(x,q)がqについて準凹のとき、ならば②は1より小さく、ならば1より大きい。しかし、とのどちらが大きいかは一般にはわからない。

　Hanemann (1991)はが定数のとき効用関数は次式のとおりになることを示した。

(3.21a)

ただし、Gはqに関して増加、は1以外の定数。このとき、

(3.21b)

ただし、である。これを微分すると、

(3.21d)

ただし、c=C/y, e=E/yである。これより、が一定であっても、はcに依存するので、(p,q,y)によって変化する。また、のときは、のときは。cが小さいときは。

C=0.001
	0.05	0.5	1.5	5
	0.0500224	0.500125	1.499625	4.99001
C=0.1
	0.05	0.5	1.5	5
	0.052542	0.513167	1.46185	4.0951

PROPOSITION 3.5

以下はすべて等しい。間接効用関数が(3.22a)

のとき、 (3.22a)

これより、

(3.22b)

(3.22c)

このとき、であれば。この逆も成立する。(3.4a)を微分すると、

(3.23)

これが1に等しいとして解くと、(3.22a)が得られる。■

の場合は少し異なる。の一階の条件をもとめると

(3.24a) （ロアの恒等式に相当）

これを解くと需要関数が得られる。これを所得で微分して需要の所得弾力性が得られる。

(3.24b)

(3.23)と比較すると、両者の違いがあることがわかる。

　Hanmann (1991)は次式が成立することを示した。

(3.25)

ただし、σはqとxのAllen-Uzawaの代替の弾力性である。完全代替のときはσ＝０、まったく代替がないときはσ＝∞。したがって、η_πはη_ｑとは異なり、小さな値から非常に大きな値までとりうる。

(3.25)式の直観的な解釈

　需要の所得弾力性η_ｑが一定の場合、間接効用関数は

(3.26)

しかし、このclosed-formはない。

　η_Cが一定の場合、(3.23)を積分すると、

(3.27)

ただし、である。。ここで、

、であることに注意すると、

（3.27ｂ）

したがって、πは(p,π, q)に依存、一定ではない。

例外として、η_q＝1のときがある。このとき、。もしσ＝1ならば、。の場合、（3.28）

このときが成立する。

η_q＝1だが、の場合、効用関数は

（3.29）

このとき、η_q＝1、η_π＝1/σが成立。これは(3.24a)の特殊ケースとして見ることができる。すると、(2.31e,d)より、

(3.29b)

(3.29c)

したがって、η_Cとη_Eは一定ではないが、η_πと近い値となる。つまり。

　以上のことから、効用関数に何らかの仮定を置かないかぎり、η_Cとη_qを近似することはできない。したがって、McFadden & LeonardのCV批判はη_Cとη_qを混同しており、彼らの主張は正しくない。

3.6　WTPとWTAの差異

Willigは通常の価格変化における補償変分と等価変分の差異の上下限を、需要の所得弾力性を用いて示した。Randall & Stollはこれを拡張し、qの変化のWTPとWTAの差異の上下限を需要価格の所得弾力性η_πを用いて示した。Hanemannはη_πには所得効果だけではなく代替効果も含まれることを示した。以下では(E－C)をWTP/WTAの差異と呼ぶことにする。

　ある財の価格が変化したときのC^pとE^pを用いてWTP/WTAの差異を示すと

(3.30a)

となる。したがって、

(3.30b)

(3.31)

ここで、つまりと仮定すると、

(3.32)

(3.33)

つまり、価格変化の場合は、m_p1uがWTP/WTAの差異の符号を決定する。ここで

(3.34)

m_u>0であるから、

(3.32)

したがって、価格変化の場合は、WTP/WTAの差異は所得効果に依存する。上級財ならばWTA>WTP、下級財ならばWTA<WTP。

　環境変化の場合、

(3.35a)

となる。したがって、

(3.35b)

ここでだとすると、

(3.36)

一般化して、、すると以下の命題が得られる。

PROPOSITION 3.6 (WTP/WTAの差異)

1. C^zとE^zが非負ならば

2. C^zとE^zが非正ならば

3. Vがxとzの両方に非減少ならば

4. Vがxに対して非減少、zに対して非増加ならば

（証明）

C(x+E)

x+E

E

x

C

E(x-C)

したがって、

x-C

z1

z0

の場合、より(1)が成立。同様に(2)も成立。

より(3)(4)の最初の式が成立。

より、。V_xが非負であることに注目すると(3)(4)の最後の式も成立。さらに、であるから(5)も成立。■

　命題3.6はVに対して微分可能性以外の仮定は用いていない。準凹性の仮定すらない。

(3.36)より、これまでWTP/WTAの差異は所得効果によって生じると見られることが多かった。価格変化のときは(3.34)のようにm_puによってWTP/WTAの差異が決まり、したがって所得効果によって決まる。しかし、環境変化の場合はm_quによって決まるが、これは所得効果のみではない。

を微分すると、

(3.39)

となり、価格変化のときに比べると分母にg_πが追加されている。分子は所得効果に相当。

(3.40)

Hanemannは弾力性の形式を用いて次式を導いた。

(3.41)

ただし、σはqとxのAllen-Uzawaの代替の弾力性、。つまり(3.39)の分母はｑの代替効果に相当するものである。

　また、の両辺をｑで微分して整理すると、

(3.42)

となる。したがって、支出関数の曲がり方（＝無差別曲線の曲がり方）によってWTP/WTAの差が影響を受ける。所得効果が小さく、ｑの予算シェアが小さい場合でも、代替の弾力性が小さい（無差別曲線の曲がり方が強い）ときはWTPとWTAの差が大きくなる。

	WTP/WTAの差の原因
価格変化	ｍ_ｐｕ	所得効果のみ
数量変化	ｍ_ｑｕ	所得効果＋代替効果

WTP/WTAの差が生じる原因を図を使って示したのがFig3.1-3.6である。これらの図から、WTP/WTAの差の原因には、次の二つの要因がある。

(1)無差別曲線の曲がり方

　 Fig3.2参照。代替効果に関係する

(2)無差別曲線の間隔

Fig3.1参照。所得効果に関係する。

Fig3.1　所得効果による乖離 Fig3.2　代替の弾力性が低い場合

Fig3.3　上級財の場合 Fig3.4　下級財の場合

Fig3.5　準凸選好 Fig3.6　準凸選好で下級財

無差別曲線が平行な直線の場合、WTA/WTPの乖離は存在しない。これは、間接効用関数が(3.19b)のときと同値。これは間接効用関数のｙとψ(p,q)が完全代替である。

(3.19b)

これは効用関数のｘとｑが完全代替とは異なるかもしれない。たとえば、

ｘ₁はｑと完全代替　 (3.43a)

ｘ_ｉはｑと完全代替　 (3.43b)

どちらの場合も、(3.39)の分母は無限大（σ＝∞）、ｍ_ｑｕ＝０となる。これに対して、

(3.44)

のとき、ｑとｘは完全代替ではないがｍ_ｑｕ＝０となる。したがて、ｙとｑの完全代替はWTP/WTA乖離の必要十分条件であるが、ｘとｑの完全代替は十分条件ではあっても必要条件ではない。

獲得と損失の差異

損失を獲得よりも重視する傾向が一般に見られる。この現象は、損失回避(loss aversion)、賦与効果(endowment effect)、現状バイアス(status-quo bias)などと呼ばれている。

q0－△

y

q0+△

q0

ｑの獲得を、損失をとする。このときの効用はから獲得の場合は、損失の場合はへと変化する。獲得のときの厚生変化をＣ⁺、Ｅ⁺とし、損失のときの厚生変化をＣ^-、Ｅ^-とする。このとき、WTP⁺＝Ｃ⁺;　WTA⁺＝Ｅ⁺;　WTP^-＝－Ｅ^-;　WTA^-＝－Ｃ^-の関係がある。

これまでは[WTA⁺－WTP⁺]または[WTA^-－WTP^-]を見てきたが、ここでは損失のWTAと獲得のWTPの差異[WTA^-－WTP⁺]について検討する。

PROPOSITION 3.7

がｑについて凸

が（ｐ，ｙ）について準凹

ｍがｑについて凸

WTP/WTAの差異のときは準凹性は必要なかったが、獲得／損失の場合は必要。

PROPOSITION 3.8

がｚについて凸（凹）

が（ｘ，ｚ）について準凹（準凸）

ｑがスカラーの場合はとなる。つまり

WTP/WTAのときはｍ_ｑｕ　所得効果＋代替効果

獲得／損失のときはｍ_ｑｑ　代替効果のみ

Fig3.7も参照のこと。獲得／損失の乖離が生じないための必要十分条件はｍ_ｑｑ＝０。これは以下と同値である。

(3.47)

このとき、

となる。ｑから独立で、△のみで決まる。このときWTP/WTAの差はとなり、これは正負どちらもとりうる。つまり、損失／獲得の差がない場合でもWTP/WTAの差が生じることがある（代替効果と所得効果の違いが原因）。

　逆に、(3.19b)のとき、WTP/WTAの差は生じないが、獲得／損失の差は

となり、正負どちらもとりうる。

　もしも(3.47)のψがｕと独立の場合、ｍ_ｑｕ＝ｍ_ｑｑ＝０となり、WTP/WTAの差も獲得／損失の差も生じない。これは

(3.48a)

のときである。このとき、

(3.48b)

　次に、WTP/WTAの乖離と獲得／損失の乖離の大小関係を検討する。獲得／損失の方がWTP/WTAの乖離より大きくなるのは

(3.49a)

同様に、

(3.49a)

となる。それぞれの解釈についてFig3.9とFig3.10を参照のこと。

PROPOSITION 3.9

獲得／損失の乖離がWTP/WTAの乖離より大きくなるための十分条件は効用関数が以下のときである。

、ただしψはｑの凹関数、 (3.50)

または

、ただしψはｑの対数凹関数 (3.51)

PROPOSITION 3.10

効用モデルV(x,z)において獲得／損失の乖離がWTP/WTAの乖離より大きくなるための十分条件は効用関数が以下のときである。

、ただしψはｑの凹関数、 (3.58a)

または

、ただしψはｑの対数凹関数 (3.58b)

［証明の手順］

(3.50)のＴとφの逆関数をとって支出関数を計算する。支出関数を(3.49)に代入して整理すると、ψの凹性の条件に帰着する。■

3.8　損失回避とWTP/WTA乖離に関するその他の説

WTP/WTAの乖離について代替効果と所得効果によって説明できることを示した。しかし、他にも様々な説がある。代表的なものは、(1)取引費用(transaction cost)、(2)損失回避(loss aversion)あるいは賦与効果(endowment effects)、(3)不確実性、(4)アンケート調査時の影響である。